Kreisflächenrechner

Die Fläche eines Kreises ist A = π × r². Pi (π) ist ungefähr 3,14159 — das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser, eine Konstante der Geometrie. Das Quadrat des Radius sorgt dafür, dass die Kreisfläche so schnell mit der Größe wächst: Verdoppelt man den Radius, vergrößert sich die Fläche um den Faktor 4 (2²); verdreifacht man den Radius, wächst die Fläche um das 9-fache. Aus diesem Grund hat eine 16-Zoll-Pizza in etwa doppelt so viel Pizza wie zwei 12-Zoll-Pizzen, obwohl sie ungefähr das Gleiche kostet.

Der Vergleich mit dem umschreibenden Quadrat (4r²) ist eine nützliche Plausibilitätsprüfung. Ein Kreis, der in ein Quadrat mit der Seitenlänge 2r eingeschrieben ist, hat eine Fläche von πr² ≈ 0,785 × (2r)². Dieses Verhältnis von etwa 78,5 % ist für jeden Kreis feststehend und ermöglicht eine schnelle mentale Kontrolle, wenn etwas nicht stimmig erscheint.

Pizza ist das Paradebeispiel. Eine 12-Zoll-Pizza hat einen Radius von 6 in und eine Fläche von π × 36 ≈ 113 in². Eine 16-Zoll-Pizza hat eine Fläche von π × 64 ≈ 201 in² — das sind 78 % mehr Pizza als bei der 12er, nicht die 33 %, die der Durchmesserunterschied vermuten lässt. Bei einem Preis von $14 für die 12er und $19 für die 16er liegen die Preise pro Quadratzoll bei $0,124 bzw. $0,094. Die 16er ist der offensichtliche Gewinner beim Preis-Leistungs-Verhältnis, sofern man sie aufessen kann.

Ein Kreisberegnungssystem hat einen 400-Meter-Arm und bewässert einen vollen Kreis. Fläche = π × 400² ≈ 502.655 m² ≈ 124 acres. Bei einem für die Great Plains typischen Maisertrag von 230 bushels per acre produziert dieses einzige System etwa 28.500 bushels pro Saison. Eine Verdoppelung der Armlänge auf 800 m würde die bewässerte Fläche auf 248 acres vervierfachen — was auch der Grund ist, warum diese Systeme in einem typischen Homestead-Raster meist auf eine Quarter-Section (160 acres) begrenzt sind.

Vom Durchmesser: Durch 2 teilen, dann A = π × r² anwenden. Oder direkt A = π × d² / 4 verwenden. Eine 10-Zoll-Pfanne hat eine Fläche von π × 100 / 4 ≈ 78,54 in².

Vom Umfang: r = C / (2π) auflösen, dann A = π × r². Oder die Abkürzung A = C² / (4π) nutzen. Ein Kreis mit einem Umfang von 31,4 hat einen Radius von etwa 5 und eine Fläche von etwa 78,5.

Sektoren und Segmente: Die Fläche eines Tortenstücks (Sektor) mit dem Mittelpunktswinkel θ in Grad ist A = π × r² × θ / 360. Ein Segment (die Fläche zwischen einer Sehne und dem Kreisbogen) ist die Sektorfläche minus dem Dreieck, das aus der Sehne und den beiden Radien gebildet wird.

Kreisring (Annulus): Die Fläche eines flachen Rings zwischen zwei konzentrischen Kreisen ist π × (R² − r²). Eine Unterlegscheibe mit einem Außenradius von 1 in und einem Innenradius von 0,5 in hat eine Fläche von π × (1 − 0,25) ≈ 2,36 in².