Normalverteilungsrechner

Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) ist die Glockenkurve: symmetrisch um ihren Mittelwert μ, wobei die Streuung durch ihre Standardabweichung σ gesteuert wird. Ihre Dichte ist f(x) = (1 / σ√(2π)) · exp(−(x−μ)² / 2σ²).

Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass Summen und Mittelwerte vieler unabhängiger Zufallsvariablen unabhängig von der zugrunde liegenden Form zu einer Normalverteilung tendieren. Deshalb modelliert die Normalverteilung so viele Phänomene der realen Welt — Messfehler, Stichprobenmittelwerte, Summen kleiner Effekte.

Jede Normalverteilung kann über z = (x − μ)/σ in die Standardnormalverteilung (μ=0, σ=1) umgerechnet werden. Wahrscheinlichkeiten und Quantile schlagen für jedes Problem in derselben Tabelle nach.

P(X < x) — linker Rand (Left tail). Die kumulative Verteilungsfunktion Φ((x−μ)/σ). Für x = μ ist dies immer 0.5.

P(X > x) — rechter Rand (Right tail). 1 − Φ((x−μ)/σ).

P(a < X < b) — zweiseitiger Bereich. Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ). Die 68-95-99.7-Regel ergibt sich aus a = μ−kσ, b = μ+kσ für k = 1, 2, 3.

Gegeben sei eine Zielwahrscheinlichkeit p für den linken Rand, gesucht ist das x, für das P(X ≤ x) = p gilt. Formal x = μ + σ · Φ⁻¹(p).

Verwendet zur Festlegung von Kontrollgrenzen (Fertigung), Notengrenzen (Bildung) und Stop-Loss-Schwellen (Finanzen). Beispiel: Das 99. Perzentil der täglichen Portfolioverluste ist die Value-at-Risk (VaR)-Kennzahl.

Häufige kritische Werte: Φ⁻¹(0.95) ≈ 1.645, Φ⁻¹(0.975) ≈ 1.960, Φ⁻¹(0.99) ≈ 2.326, Φ⁻¹(0.995) ≈ 2.576.

Die täglichen Bestellungen in einem Coffeeshop sind annähernd normalverteilt mit μ = 320 und σ = 40.

P(X > 400) = 1 − Φ((400−320)/40) = 1 − Φ(2.0) ≈ 1 − 0.9772 = 0.0228 → an etwa 2.3% der Tage werden mehr als 400 Bestellungen erreicht.

Welches tägliche Volumen im 95. Perzentil sollte das Personal einplanen? x = 320 + 40 · 1.645 ≈ 386 Bestellungen.

Schiefe Verteilungen (Einkommen, Dateigrößen) — die Normalverteilung unterschätzt den rechten Rand. Versuchen Sie stattdessen eine Log-Normalverteilung oder geben Sie Median + IQR an.

Begrenzte Variablen (Anteile in [0,1], Zählwerte ≥ 0) können nur dann annähernd normalverteilt sein, wenn sie weit von den Grenzen entfernt liegen.

Heavy-Tailed-Phänomene (Aktienrenditen, Netzwerkpaketgrößen) weisen extremere Ereignisse auf, als eine Normalverteilung vorhersagt. Student-t- oder stabile Verteilungen sind gängige Alternativen.

Im Bildungswesen werden IQ-Werte als z-Scores definiert, die auf μ = 100 und σ = 15 skaliert sind. Ein IQ von 130 entspricht z = 2,0 — was in etwa dem 98. Perzentil entspricht. SAT- und GRE-Ergebnisse verwenden eine ähnliche Skalierung, was den Vergleich zwischen verschiedenen Testversionen ermöglicht.

In der Medizin stellen pädiatrische Wachstumskurven Größe und Gewicht als z-Scores im Vergleich zu altersentsprechenden Normen dar. Ein Kind mit einem z-Wert von −2,0 für die Körpergröße liegt unter dem 2,3. Perzentil, was eine Überweisung zur endokrinologischen Untersuchung auslösen kann.

In der Fertigung definiert Six Sigma die Prozessfähigkeit als die Anzahl der Standardabweichungen zwischen dem Prozessmittelwert und der nächsten Spezifikationsgrenze. Ein „3-Sigma“-Prozess weist 2.700 Fehler pro Million auf; „6-Sigma“ strebt durch die Reduzierung von Variationen 3,4 Fehler pro Million an.