Bayes-Theorem-Rechner

P(H | E) = P(E | H) · P(H) / P(E), wobei P(E) = P(E | H) · P(H) + P(E | ¬H) · P(¬H).

P(H) — Prior, Ihre Überzeugung vor Sichtung der Evidenz (die Basisrate).

P(E | H) — Likelihood, wie oft die Evidenz auftritt, wenn die Hypothese wahr ist (Sensitivität bei einem medizinischen Test).

P(E | ¬H) — Falsch-Positiv-Rate, wie oft die Evidenz auftritt, wenn die Hypothese falsch ist.

P(H | E) — Posterior, die aktualisierte Wahrscheinlichkeit nach der Evidenz.

Eine Krankheit hat eine Prävalenz von 1% (P(H) = 0.01). Ein Test hat eine Sensitivität von 99% (P(+ | H) = 0.99) und eine Falsch-Positiv-Rate von 5% (P(+ | ¬H) = 0.05).

Ein zufällig ausgewählter Patient wird positiv getestet. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die Krankheit tatsächlich hat?

P(+) = 0.99·0.01 + 0.05·0.99 = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594.

P(H | +) = (0.99·0.01) / 0.0594 ≈ 0.1667 — nur 17%. Selbst bei einem zu 99% genauen Test ist ein positives Ergebnis bei einer seltenen Erkrankung eher ein falscher Alarm als die Krankheit selbst.

Dies ist der Grund, warum Reihenuntersuchungen in der Bevölkerung schwierig sind: Wenn die Basisraten niedrig sind, dominieren falsch-positive Ergebnisse die positiven Befunde.

Bayes fungiert als Multiplikator für die Prior-Odds. Prior-Odds = P(H) / P(¬H); Posterior-Odds = Prior-Odds × Likelihood Ratio (LR+ = Sensitivität / FPR).

Wenn LR+ = 20, multipliziert ein positives Ergebnis Ihre Prior-Odds mit 20. Ein Prior von 1% (Odds 1:99) wird zu Posterior-Odds von 20:99 → P ≈ 0.168.

Dies erklärt, warum die Wiederholung eines unabhängigen positiven Tests hilft: Jedes positive Ergebnis multipliziert die Odds erneut. Zwei unabhängige positive Ergebnisse bei LR+ = 20 ergeben Posterior-Odds von 1:99 · 20² = 400:99 → P ≈ 0.80.

Spam-Filter — P(Spam | Merkmale). Prior = Basisrate von Spam in Ihrem Posteingang; Likelihood = wie oft diese Wörter in Spam gegenüber Ham vorkommen.

A/B-Signifikanz — P(echte Steigerung | beobachtete Differenz). Frequentistische p-Werte nehmen implizit einen 50/50-Prior an, was für bereits implementierte Funktionen selten realistisch ist.

Forensik, Fehlererkennung, Such- und Rettungsdienste — überall dort, wo Vorwissen und ein unvollkommenes Signal zu einer Posteriori-Wahrscheinlichkeit kombiniert werden müssen.

Vernachlässigung der Basisrate — Konzentration auf die Testgenauigkeit unter Ignorierung der Prävalenz. Das obige Beispiel ist der klassische Fall dafür.

Vertauschen der Bedingungen — P(E | H) ist nicht P(H | E). Ein Symptom kann bei einer Krankheit zu 95% wahrscheinlich sein, aber die Krankheit kann angesichts des Symptoms dennoch selten sein.

Annahme der Unabhängigkeit von Tests, wenn diese systematische Fehler teilen. Zwei korrelierte Tests multiplizieren die Odds nicht so sauber, wie es die Formel suggeriert.