Konfidenzintervall Rechner

Schätzwert ± kritischer Wert × Standardfehler.

Schätzwert — Ihr Stichprobenmittelwert oder Stichprobenanteil.

Standardfehler — die Standardabweichung des Schätzwerts. Für einen Stichprobenmittelwert gilt SE = s/√n; für einen Anteil gilt SE = √(p̂(1−p̂)/n).

Kritischer Wert — wie viele Standardfehler (SEs) man nach außen gehen muss, um das Ziel-Konfidenzniveau zu erreichen. Stammt aus den Tabellen für t (kleines n, unbekanntes σ) oder Normalverteilung (großes n oder bekanntes σ). Für 95 % liegt er bei etwa 1,96 für z und ist etwas größer für t.

Wenn Sie σ exakt kennen, verwenden Sie z. Dies kommt in der Praxis fast nie vor.

Wenn Sie σ aus der Stichprobe schätzen (unter Verwendung von s), verwenden Sie t mit df = n − 1. Die t-kritischen Werte sind größer als die z-kritischen Werte, was das Intervall korrekterweise verbreitert, um die Unsicherheit in s zu berücksichtigen.

Mit zunehmendem n nähert sich t dem z-Wert an. Ab n = 60 sind die beiden im Wesentlichen identisch; die Wahl spielt meist nur für n < 30 eine Rolle.

Umfrage unter 30 Pendlern: Mittelwert = 32 Minuten, s = 8 Minuten. 95% CI für den Populationsmittelwert?

SE = 8 / √30 ≈ 1,461.

t(0,975, df = 29) ≈ 2,045. Fehlermarge = 2,045 · 1,461 ≈ 2,99 Minuten.

95% CI: 32 ± 2,99 → (29,0, 35,0).

Interpretation: Wenn wir diese Umfrage oft wiederholen würden, würden etwa 95 % solcher Intervalle die wahre durchschnittliche Pendelzeit abdecken. Wir sagen NICHT, dass eine Wahrscheinlichkeit von 95 % besteht, dass der wahre Mittelwert in diesem spezifischen Intervall liegt (das wäre ein Bayessches Kredibilitätsintervall).

Wald-Formel: p̂ ± z · √(p̂(1−p̂)/n). Funktioniert gut, wenn np̂ ≥ 10 und n(1−p̂) ≥ 10.

Grenzfälle (p̂ nahe 0 oder 1, kleines n) werden besser durch Wilson- oder Agresti-Coull-Intervalle abgedeckt. Das Wald-Intervall kann unter 0 fallen oder über 1 steigen, was unmöglich ist.

Beispiel: 240 von 400 Kunden sagen Ja (p̂ = 0,60). 95% Wald CI = 0,60 ± 1,96 · √(0,60·0,40/400) = 0,60 ± 0,048 = (0,552, 0,648).

Die Aussage 'es besteht eine 95%-ige Chance, dass der Parameter in diesem Intervall liegt'. Der Parameter ist fix; das Intervall ist zufällig. Die 95 % beziehen sich auf die langfristige Erfassungsrate.

Verwendung eines Intervalls für kleine Stichproben, wenn die Daten stark schief verteilt sind. CIs setzen voraus, dass die Stichprobenverteilung des Mittelwerts annähernd normalverteilt ist — bei großem n gilt dies für jede Form, scheitert aber bei kleinen, schiefen Stichproben.

Verwechslung der CI-Breite mit der Effektstärke. Breitere Intervalle bedeuten lediglich mehr Unsicherheit; sie ändern den Punktschätzwert nicht.

Sich überschneidende Intervalle als 'kein Unterschied' behandeln. Zwei CIs können sich überschneiden und der Unterschied kann dennoch statistisch signifikant sein — verwenden Sie stattdessen ein CI für die Differenz.