Calculadora de Distribuição Normal

A distribuição normal (Gaussiana) é a curva em sino: simétrica em torno de sua média μ, com a dispersão controlada por seu desvio padrão σ. Sua densidade é f(x) = (1 / σ√(2π)) · exp(−(x−μ)² / 2σ²).

O teorema central do limite diz que somas e médias de muitas variáveis aleatórias independentes tendem a uma distribuição normal, independentemente da forma subjacente. É por isso que a normal modela tantos fenômenos do mundo real — erros de medição, médias amostrais, somas de pequenos efeitos.

Qualquer normal pode ser convertida para a normal padrão (μ=0, σ=1) via z = (x − μ)/σ. Probabilidades e quantis consultam a mesma tabela para cada problema.

P(X < x) — cauda esquerda. A função de distribuição acumulada Φ((x−μ)/σ). Para x = μ, isso é sempre 0.5.

P(X > x) — cauda direita. 1 − Φ((x−μ)/σ).

P(a < X < b) — banda bilateral. Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ). A regra 68-95-99.7 vem de a = μ−kσ, b = μ+kσ para k = 1, 2, 3.

Dada uma probabilidade de cauda esquerda alvo p, encontre o x tal que P(X ≤ x) = p. Formalmente x = μ + σ · Φ⁻¹(p).

Usado para definir limites de controle (manufatura), notas de corte (educação) e limites de stop-loss (finanças). Exemplo: o 99º percentil das perdas diárias de uma carteira é o valor em risco (VaR).

Valores críticos comuns: Φ⁻¹(0.95) ≈ 1.645, Φ⁻¹(0.975) ≈ 1.960, Φ⁻¹(0.99) ≈ 2.326, Φ⁻¹(0.995) ≈ 2.576.

Os pedidos diários em uma cafeteria são aproximadamente normais com μ = 320 e σ = 40.

P(X > 400) = 1 − Φ((400−320)/40) = 1 − Φ(2.0) ≈ 1 − 0.9772 = 0.0228 → cerca de 2.3% dos dias ultrapassam 400 pedidos.

Qual é o volume diário do 95º percentil para o qual a equipe deve se planejar? x = 320 + 40 · 1.645 ≈ 386 pedidos.

Distribuições assimétricas (renda, tamanhos de arquivo) — a normal subestima a cauda direita. Tente uma log-normal ou relate a mediana + IQR em vez disso.

Variáveis limitadas (proporções em [0,1], contagens ≥ 0) podem ser aproximadamente normais apenas quando estão distantes dos limites.

Fenômenos de cauda pesada (retornos de ações, tamanhos de pacotes de rede) apresentam eventos mais extremos do que uma normal prevê. As distribuições t de Student ou estáveis são alternativas comuns.

Na educação, os quocientes de inteligência (QI) são definidos como escores-z escalonados para μ = 100 e σ = 15. Um QI de 130 é z = 2.0 — aproximadamente o 98º percentil. As pontuações do SAT e do GRE usam escalonamento semelhante, permitindo a comparação entre diferentes versões do teste.

Na medicina, os gráficos de crescimento pediátrico traçam a altura e o peso como escores-z em relação às normas correspondentes à idade. Uma criança em z = −2.0 para altura está abaixo do 2,3º percentil e pode desencadear o encaminhamento para avaliação endócrina.

Na manufatura, o Seis Sigma define a capacidade do processo como o número de desvios padrão entre a média do processo e o limite de especificação mais próximo. Um processo '3-sigma' tem 2.700 defeitos por milhão; o '6-sigma' visa 3,4 defeitos por milhão ao reduzir a variação.