Calculadora de Permutações e Combinações

Permutações sem repetição — P(n, k) = n! / (n−k)!. Escolha k de n itens onde a ordem importa e nenhum item se repete. Exemplo: de quantas formas se pode sentar 3 de 10 pessoas em um pódio de 1º/2º/3º lugar.

Combinações sem repetição — C(n, k) = n! / (k!(n−k)!). A ordem não importa, sem repetições. Exemplo: mãos de pôquer de 5 cartas de um baralho de 52 cartas.

Permutações com repetição — nᵏ. k espaços, cada um preenchido independentemente a partir de n escolhas. Exemplo: PIN de 4 dígitos a partir de 10 dígitos = 10⁴ = 10000.

Combinações com repetição (multiconjuntos) — C(n+k−1, k). k itens escolhidos de n tipos, repetições permitidas, a ordem não importa. Exemplo: servir 3 bolas de sorvete a partir de 5 sabores.

Uma loteria "escolha 6 de 49": quantos bilhetes possíveis? A ordem não importa e nenhum número se repete — combinações sem repetição.

C(49, 6) = 49! / (6! · 43!) = 13 983 816. Um bilhete tem chances de 1 em 13,98 milhões.

Por outro lado, um número de 6 dígitos com repetições permitidas = 10⁶ = 1 000 000 — chances muito melhores, mas prêmios muito menores porque a contagem é bem menor.

Senha de 8 caracteres a partir de 62 caracteres alfanuméricos com repetições: 62⁸ ≈ 2,18 × 10¹⁴. Por que um brute-forcer precisa de um hash offline para quebrar senhas razoáveis.

Mãos de pôquer: total = C(52, 5) = 2 598 960. Royal flushes = 4. P(royal) = 4 / 2598960 ≈ 1 em 650 000.

O mesmo mecanismo — "escolha k de n" — aplicado em escalas muito diferentes.

C(n, k) = C(n, n−k). Escolher o grupo que está "dentro" é o mesmo problema que escolher o grupo que está "fora".

P(n, k) = k! · C(n, k). Permutações equivalem a combinações multiplicadas pelas ordenações dos k itens escolhidos.

n! cresce ferozmente: 10! ≈ 3,6 milhões, 20! ≈ 2,4 × 10¹⁸, 70! transborda a precisão dupla IEEE 754. Esta calculadora limita-se a 170! (≈ 1,7 × 10³⁰⁶) — qualquer valor além disso retorna Infinity.

Tratar problemas ordenados como não ordenados. "Quantos pódios possíveis?" é P, não C.

Esquecer a repetição. "Quantos números de telefone de 7 dígitos?" usa repetição (10⁷); classificar 7 candidatos distintos não usa (7!).

Coeficientes multinomiais — organizar n itens onde alguns se repetem (como as letras em MISSISSIPPI) precisa de n! / (n₁! · n₂! · …). Não coberto pelas quatro regras acima.

Na ciência da computação, a combinatória impulsiona a análise de algoritmos. Ordenar n itens tem n! ordenações iniciais possíveis, razão pela qual as ordenações por comparação não podem superar O(n log n) no pior caso. A entropia de senha é log₂(nᵏ) — o número de bits de segurança em uma senha de k caracteres extraídos de n símbolos.

Na genética, as combinações contam os genótipos possíveis. Com dois alelos em um único lócus, existem C(2+2−1, 2) = 3 genótipos (AA, Aa, aa). Em mais de 20.000 genes, o espaço combinatório da variação humana é astronômico — e é por isso que estudos com gêmeos focam na comparação de pares idênticos versus fraternos para isolar efeitos genéticos de ambientais.