Chi-Quadrat Rechner

Anpassungstest (Goodness-of-Fit) — vergleicht beobachtete Häufigkeiten in c Kategorien mit einer theoretischen Verteilung. df = c − 1.

Unabhängigkeitstest — beobachtete Häufigkeiten in einer r × c Kontingenztafel. Testet H₀: Zeilen und Spalten sind unabhängig. Erwartete Häufigkeit für Zelle (i, j) = (Zeilensumme · Spaltensumme) / Gesamtsumme. df = (r − 1)(c − 1).

Beide berechnen χ² = Σ (O − E)² / E und vergleichen dies mit einer Chi-Quadrat-Verteilung. Ein größeres χ² bedeutet eine größere Abweichung zwischen Beobachtung und Erwartung.

Unabhängige Beobachtungen: Jedes Subjekt wird nur einmal gezählt, keine Messwiederholungen bei derselben Person innerhalb der Tabelle.

Zufallsauswahl aus der interessierenden Grundgesamtheit.

Erwartete Häufigkeiten ≥ 5 in mindestens 80 % der Zellen und keine Zelle mit einem Erwartungswert < 1. Bei Verstößen sollten benachbarte Kategorien zusammengefasst oder der exakte Test nach Fisher für kleine 2×2-Tabellen verwendet werden.

Kategorien müssen disjunkt (mutually exclusive) und erschöpfend sein — jede Beobachtung gehört zu genau einer Zelle.

Würfeln Sie einen Würfel 60 Mal, Beobachtung: (12, 8, 11, 9, 10, 10). Ist er fair? Unter H₀ wird jede Augenzahl 10 Mal erwartet.

χ² = (12−10)²/10 + (8−10)²/10 + (11−10)²/10 + (9−10)²/10 + 0 + 0 = 0.4 + 0.4 + 0.1 + 0.1 = 1.0. df = 5.

p = P(χ²₅ ≥ 1.0) ≈ 0.96 — absolut konsistent mit einem fairen Würfel.

Befragung von 349 Personen zur Kaffeepräferenz (normal/koffeinfrei) vs. Altersgruppe (18-34, 35-54, 55+). Die beobachteten Häufigkeiten bilden eine 2×3-Tabelle.

Berechnen Sie die erwarteten Häufigkeiten aus den Randsummen von Zeilen und Spalten. Wenn alle erwarteten Häufigkeiten groß sind und die beobachteten Werte nahe bei den erwarteten liegen, ist χ² klein und die Nullhypothese „kein Zusammenhang“ wird nicht verworfen.

Wenn Sie die Nullhypothese ablehnen, untersuchen Sie die (O − E)² / E Beiträge pro Zelle, um zu sehen, welche Zellen den Zusammenhang maßgeblich beeinflussen — das ist die Geschichte hinter dem Test, wo es darauf ankommt.

Verwendung von Chi-Quadrat für Prozentsätze oder Anteile. Der Test benötigt absolute Häufigkeiten; wandeln Sie diese vor dem Testen zurück in Anzahlen um.

Vergleich einer winzigen Tabelle mit einer winzigen Stichprobe. Kleine erwartete Häufigkeiten blähen (O − E)² / E künstlich auf und machen die Chi-Quadrat-Approximation ungültig.

Signifikanz mit der Effektstärke gleichsetzen. Eine riesige Stichprobe kann triviale Unterschiede „signifikant“ machen. Geben Sie Cramérs V oder Odds Ratios für die Effektgröße an.

Kausale Schlussfolgerungen ziehen. Ein signifikanter Unabhängigkeitstest bedeutet „sie hängen zusammen“, nicht „das eine verursacht das andere“.

Der exakte Fisher-Test ist die klassische Alternative für 2×2-Tabellen mit geringen erwarteten Häufigkeiten. Er berechnet die exakte Wahrscheinlichkeit der beobachteten Tabelle (und extremerer Fälle) unter der hypergeometrischen Verteilung und vermeidet so die Chi-Quadrat-Approximation gänzlich.

Der G-Test (Likelihood-Verhältnis-Test) ist asymptotisch äquivalent zum Chi-Quadrat-Test, kommt jedoch besser mit dünn besetzten Tabellen (sparse tables) zurecht und weist vorteilhaftere theoretische Eigenschaften für log-lineare Modelle auf. Die meiste Software gibt bei großen Tabellen sowohl χ² als auch G aus.

Der McNemar-Test ist für gepaarte kategoriale Daten gedacht – Vorher-Nachher-Studien an denselben Probanden oder gematchte Fall-Kontroll-Studien. Er betrachtet ausschließlich die diskordanten Paare (geänderte Antworten) und ignoriert die konkordanten.

Bei geordneten Kategorien (leicht, mittelschwer, schwer) verschenkt der Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest Informationen, da er die Ordnung als nominal behandelt. Verwenden Sie stattdessen den Cochran-Armitage-Trendtest oder die ordinale logistische Regression.