Standardabweichungsrechner

Mittelwert — das arithmetische Mittel. Anfällig für Ausreißer; ein einzelner Extremwert verschiebt ihn spürbar.

Median — der mittlere Wert in einer sortierten Liste. Robust gegenüber Ausreißern. Aus diesem Grund verwenden Berichte über Einkommen und Immobilienpreise den Median und nicht den Mittelwert.

Modalwert (Modus) — der am häufigsten vorkommende Wert bzw. die häufigsten Werte. Ein Datensatz kann keinen Modalwert (keine Wiederholungen), einen Modalwert (unimodal) oder mehrere Modalwerte (bimodal, multimodal) haben. Besonders nützlich für kategorische oder diskrete Daten.

Spannweite (Range) — Maximum minus Minimum. Ein schnelles Maß für die Streuung, wird aber vollständig von Ausreißern bestimmt.

Varianz & Standardabweichung — die durchschnittliche quadratische Abweichung vom Mittelwert (Varianz) oder deren Quadratwurzel (SD). Die Standardabweichung (SD) hat dieselbe Einheit wie die Daten, weshalb sie die wichtigste Kennzahl für die Streuung ist.

Interquartilsabstand (IQR) — Q3 − Q1. Die Streuung der mittleren 50 % der Daten. Wird in Boxplots und zur Identifizierung von Ausreißern verwendet (alles außerhalb von Q1 − 1.5×IQR oder Q3 + 1.5×IQR gilt als potenzieller Ausreißer).

Standardfehler des Mittelwerts (SEM) — SD ÷ √n. Die erwartete Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts, wenn man viele Stichproben nehmen würde. Er bestimmt die Breite von Konfidenzintervallen.

Die Populations-Standardabweichung dividiert durch n. Verwenden Sie diese NUR dann, wenn Ihre Daten die gesamte Grundgesamtheit darstellen, die Sie untersuchen (z. B. die Prüfungsergebnisse aller Schüler einer einzelnen Klasse, wenn die Klasse die gesamte Grundgesamtheit IST).

Die Stichproben-Standardabweichung dividiert durch n−1 (Besselsche Korrektur). Verwenden Sie diese, wenn Ihre Daten eine Stichprobe aus einer größeren Grundgesamtheit sind (z. B. eine Umfrage unter 100 Kunden bei einer Basis von 100 000). Der Nenner n−1 korrigiert die Tatsache, dass der Stichprobenmittelwert selbst aus denselben Daten geschätzt wird — ohne diese Korrektur würde die Stichproben-Standardabweichung die wahre Populations-Standardabweichung systematisch unterschätzen.

Fast jede praxisnahe Berechnung verwendet die Stichproben-Standardabweichung, einschließlich aller statistischen Standardtests (t-Tests, Regression, ANOVA). Der Unterschied verringert sich mit wachsendem n: Bei n = 100 unterscheiden sich Stichproben- und Populations-Standardabweichung nur noch um 0.5%.

Datensatz: 12, 15, 14, 10, 18, 17, 16, 14, 13, 11 (n = 10). Summe = 140, Mittelwert = 14.0.

Quadratische Abweichungen: (12−14)² + (15−14)² + … = 4 + 1 + 0 + 16 + 16 + 9 + 4 + 0 + 1 + 9 = 60.

Stichprobenvarianz = 60 / 9 = 6.667. Stichproben-SD = √6.667 ≈ 2.582. Populations-SD wäre √(60/10) = √6 ≈ 2.449.

Sortiert: 10, 11, 12, 13, 14, 14, 15, 16, 17, 18. Median = (14+14)/2 = 14. Modalwert = 14 (kommt zweimal vor). Spannweite = 18 − 10 = 8. Q1 = 12.25, Q3 = 15.75, IQR = 3.5. SEM = 2.582 / √10 ≈ 0.816.

Das Mischen von Stichproben- und Populations-SD zwischen verschiedenen Studien macht die Ergebnisse unvergleichbar. Geben Sie explizit an, welche Sie verwendet haben.

Die Standardabweichung setzt eine in etwa symmetrische Verteilung voraus. Bei schiefen Daten (Einkommen, Antwortzeiten, Verkehrsaufkommen) sollten Sie stattdessen Median + IQR angeben — die SD wäre hier irreführend.

Ausreißer lassen die SD explodieren, da sie quadriert werden. Ein einziger Extremwert kann die SD verdoppeln oder noch stärker erhöhen. Erstellen Sie vor der Berichterstattung immer ein Diagramm oder prüfen Sie die Quantile.

Verwechseln Sie SD nicht mit dem SEM. Die SD misst die Streuung der Daten; der SEM misst die Unsicherheit bei der Schätzung des Mittelwerts. Der SEM ist immer um den Faktor √n kleiner als die SD. Balkendiagramme, die „Mittelwert ± SEM“ zeigen, wirken viel enger als „Mittelwert ± SD“ für dieselben Daten — keines von beidem ist falsch, aber sie beantworten unterschiedliche Fragen.

Die Definitionen von Quartilen variieren je nach Software. Dieser Rechner verwendet die Methode der linearen Interpolation (R-7 / Excel.QUARTILE / NumPy-Standard). SAS, Minitab und TI-Rechner können leicht abweichende Werte für Q1/Q3 liefern.