Proportionsrechner

Wenn a/b = c/d gilt, dann sind die diagonalen Produkte gleich: a × d = b × c. Von dort aus isolieren Sie die unbekannte Variable durch Division. Die Auflösung nach d ergibt d = (b × c) / a. Die Auflösung nach a ergibt a = (b × c) / d. Der Grund, warum dies funktioniert, ist, dass die Multiplikation beider Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl (ungleich Null) die Gleichheit nicht verändert — die Multiplikation von a/b = c/d mit b × d hebt beide Nenner in einem Schritt auf.

Die Überkreuzmultiplikation ist nur anwendbar, wenn beide Seiten aus einem einzelnen Verhältnis bestehen. Sie funktioniert nicht für a/b + e = c/d oder a/b × c = e/f. Bei komplexeren Ausdrücken müssen Sie zuerst das Verhältnis isolieren und erst dann überkreuzmultiplizieren.

Ein Keksrezept verlangt 2 Tassen Mehl für 24 Kekse. Wie viel Mehl benötigen Sie für 30 Kekse? Stellen Sie die Gleichung 2/24 = x/30 auf. Überkreuzmultiplizieren: 2 × 30 = 24 × x, also x = 60/24 = 2.5 Tassen. Beachten Sie, dass sich die Einheiten sauber kürzen, da beide Verhältnisse in „Tassen pro Keks“ angegeben sind — diese Konsistenz ist der Punkt, an dem Anfänger am häufigsten Fehler machen.

Eine Straßenkarte zeigt 1 inch = 25 miles. Die Entfernung zwischen zwei Städten beträgt 3.4 inches. Stellen Sie die Gleichung 1/25 = 3.4/x auf. Überkreuzmultiplizieren: x = 25 × 3.4 = 85 miles. Derselbe Aufbau gilt für Maßstabszeichnungen (Architekturpläne, Modellbausätze) und die Änderung des Seitenverhältnisses (ein Bild von 1920 × 1080 benötigt für das 16:9-Verhältnis eine Breite von 1280: 1920/1080 = 1280/y, also y = 720).

Die Kreuzprodukte sind der Test. 2/3 und 8/12 sind proportional, da 2 × 12 = 3 × 8 = 24. 2/3 und 7/12 sind es nicht, da 2 × 12 = 24, aber 3 × 7 = 21. Eine kleine Differenz im Kreuzprodukt deutet meist auf einen Rundungsfehler hin (die Skalierung von Rezepten in Restaurants toleriert einige Prozent); eine große Lücke bedeutet, dass die Beziehung nicht linear ist und eine Proportion das falsche Modell darstellt.

Antiproportionale (indirekte) Beziehungen benötigen einen anderen Aufbau. Wenn 4 Arbeiter eine Wand in 6 Stunden streichen, wie lange brauchen dann 6 Arbeiter? Dies ist eine indirekte Proportionalität: Arbeiter × Stunden = konstant. 4 × 6 = 24, also benötigen 6 Arbeiter 24/6 = 4 Stunden.

Prozentangaben sind Proportionen bezogen auf 100. „Was sind 15% von 240?“ wird zu 15/100 = x/240, was x = 36 ergibt. Unser spezieller Prozentrechner verarbeitet dieses Muster mit zweckgebundenen Eingabefeldern, falls Proportionen hierfür zu aufwendig erscheinen.