Korrelationsrechner

|r| ≈ 0,1 — schwach. |r| ≈ 0,3 — moderat. |r| ≈ 0,5 — stark. |r| ≥ 0,7 — sehr stark. Diese Schwellenwerte variieren je nach Fachbereich; die Physik erwartet deutlich höhere Werte als die Sozialwissenschaften.

Das Vorzeichen ist entscheidend: Ein positives r bedeutet, dass y tendenziell steigt, wenn x wächst; ein negatives r bedeutet, dass y tendenziell fällt.

r² (Bestimmtheitsmaß) ist der Anteil der Varianz in y, der durch ein lineares Modell auf Basis von x erklärt wird. r = 0,7 → r² = 0,49: Etwa die Hälfte der Variation von y wird linear durch x erklärt.

Selbst wenn kein zugrunde liegender Zusammenhang besteht (ρ = 0), erzeugen kleine Stichproben zufällig ein r ungleich Null.

Teststatistik: t = r · √(n − 2) / √(1 − r²), mit df = n − 2.

Der zweiseitige p-Wert gibt die Wahrscheinlichkeit an, ein |r| dieser Größe oder größer unter der H₀: ρ = 0 zu beobachten. Signifikant bei α = 0,05, wenn p < 0,05.

Für n = 30 mit r = 0,4 ist t = 2,31 → p ≈ 0,028 (signifikant). Für n = 10 mit demselben r ist t = 1,23 → p ≈ 0,25 (nicht signifikant). Die Stichprobengröße ist extrem wichtig.

x = (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10), y = (2,4,5,4,5,7,8,8,10,12).

mean(x) = 5,5, mean(y) = 6,5. Σ(xi−x̄)(yi−ȳ) = 73,5. Σ(xi−x̄)² = 82,5. Σ(yi−ȳ)² = 75.

r = 73,5 / √(82,5·75) ≈ 0,934. r² ≈ 0,873 — etwa 87 % der Varianz von y wird durch eine lineare Anpassung an x erklärt.

OLS-Steigung = 73,5 / 82,5 ≈ 0,891; Achsenabschnitt = 6,5 − 0,891·5,5 ≈ 1,6. Regressionsgerade: ŷ = 1,6 + 0,89·x.

Eiscreme-Verkäufe korrelieren mit Ertrinkungsunfällen; beides steigt im Sommer sprunghaft an (die verborgene Variable oder Drittvariable). r sagt Ihnen nicht, in welche Richtung der Wirkpfeil zeigt oder ob überhaupt einer existiert.

Umgekehrte Kausalität: Schnelleres Tippen korreliert mit mehr Tippfehlern — die Tippgeschwindigkeit könnte Fehler verursachen, Fehler (Frustration) könnten das Tippen verlangsamen, oder beides hängt von Ermüdung ab.

Störvariablen (Confounder): Schuljahre und Gehalt korrelieren; Talent, familiärer Hintergrund und Fachbereich sind hierbei Störfaktoren.

Einschränkung des Messbereichs (Restriction of Range) — wenn Sie nur die obersten 10 % von x untersuchen, sinkt r drastisch, selbst wenn die wahre Beziehung stark ist.

r erfasst nur LINEARE Beziehungen. Eine perfekte Parabel y = x², bei der x sowohl negative als auch positive Werte umfasst, ergibt r ≈ 0.

Ausreißer beeinflussen r dramatisch — ein einzelner Extrempunkt kann ein schwaches negatives r in ein starkes positives r verwandeln. Erstellen Sie immer ein Streudiagramm (Scatterplot).

r als Wahrscheinlichkeit oder Prozentsatz behandeln. r = 0,5 bedeutet nicht „zu 50 % verwandt“; r² ist der Prozentsatz der erklärten Varianz.

Die Berechnung von r über heterogene Untergruppen hinweg kann die wahren Beziehungen innerhalb der Gruppen verbergen oder umkehren (Simpson-Paradoxon).