Calculadora de la Distribución Normal

La distribución normal (gaussiana) es la curva de campana: simétrica alrededor de su media μ, con una dispersión controlada por su desviación estándar σ. Su densidad es f(x) = (1 / σ√(2π)) · exp(−(x−μ)² / 2σ²).

El teorema del límite central establece que las sumas y los promedios de muchas variables aleatorias independientes tienden a una distribución normal, independientemente de la forma subyacente. Por eso la normal modela tantos fenómenos del mundo real: errores de medición, medias de muestras, sumas de pequeños efectos.

Cualquier normal puede convertirse en la normal estándar (μ=0, σ=1) mediante z = (x − μ)/σ. Las probabilidades y los cuantiles consultan la misma tabla para cada problema.

P(X < x) — cola izquierda. La función de distribución acumulativa Φ((x−μ)/σ). Para x = μ esto es siempre 0.5.

P(X > x) — cola derecha. 1 − Φ((x−μ)/σ).

P(a < X < b) — banda de dos lados. Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ). La regla 68-95-99.7 proviene de a = μ−kσ, b = μ+kσ para k = 1, 2, 3.

Dada una probabilidad de cola izquierda objetivo p, encuentre la x tal que P(X ≤ x) = p. Formalmente x = μ + σ · Φ⁻¹(p).

Se utiliza para establecer límites de control (manufactura), cortes de calificación (educación) y umbrales de limitación de pérdidas (finanzas). Ejemplo: el percentil 99 de las pérdidas diarias de una cartera es la cifra del valor en riesgo (VaR).

Valores críticos comunes: Φ⁻¹(0.95) ≈ 1.645, Φ⁻¹(0.975) ≈ 1.960, Φ⁻¹(0.99) ≈ 2.326, Φ⁻¹(0.995) ≈ 2.576.

Los pedidos diarios en una cafetería son aproximadamente normales con μ = 320 y σ = 40.

P(X > 400) = 1 − Φ((400−320)/40) = 1 − Φ(2.0) ≈ 1 − 0.9772 = 0.0228 → aproximadamente el 2.3% de los días superan los 400 pedidos.

¿Cuál es el volumen diario del percentil 95 para el que el personal debería planificar? x = 320 + 40 · 1.645 ≈ 386 pedidos.

Distribuciones sesgadas (ingresos, tamaños de archivos): la normal subestima la cola derecha. Pruebe con una log-normal o informe la mediana + IQR en su lugar.

Las variables acotadas (proporciones en [0,1], recuentos ≥ 0) solo pueden ser aproximadamente normales cuando están lejos de los límites.

Los fenómenos de colas pesadas (rendimientos de acciones, tamaños de paquetes de red) tienen más eventos extremos de los que predice una normal. Las distribuciones t de Student o estables son alternativas comunes.

En educación, los puntajes de CI se definen como puntajes z ajustados a μ = 100 y σ = 15. Un CI de 130 es z = 2.0 — aproximadamente el percentil 98. Los puntajes de los exámenes SAT y GRE utilizan una escala similar, lo que permite la comparación entre diferentes versiones de las pruebas.

En medicina, las tablas de crecimiento pediátrico grafican la estatura y el peso como puntajes z frente a las normas correspondientes a la edad. Un niño con z = −2.0 en estatura se encuentra por debajo del percentil 2.3 y esto puede dar lugar a una derivación para una evaluación endocrina.

En la manufactura, Six Sigma define la capacidad del proceso como el número de desviaciones estándar entre la media del proceso y el límite de especificación más cercano. Un proceso de "3 sigma" tiene 2,700 defectos por millón; "6 sigma" apunta a 3.4 defectos por millón mediante la reducción de la variación.