Calculadora del Teorema de Bayes

P(H | E) = P(E | H) · P(H) / P(E), donde P(E) = P(E | H) · P(H) + P(E | ¬H) · P(¬H).

P(H) — a priori (prior), su creencia antes de ver la evidencia (la tasa base).

P(E | H) — verosimilitud (likelihood), qué tan seguido aparece la evidencia cuando la hipótesis es verdadera (sensibilidad en una prueba médica).

P(E | ¬H) — tasa de falsos positivos, qué tan seguido aparece la evidencia cuando la hipótesis es falsa.

P(H | E) — a posteriori (posterior), la probabilidad actualizada después de la evidencia.

Una enfermedad tiene una prevalencia del 1% (P(H) = 0.01). Una prueba tiene una sensibilidad del 99% (P(+ | H) = 0.99) y una tasa de falsos positivos del 5% (P(+ | ¬H) = 0.05).

Un paciente aleatorio da positivo. ¿Cuál es la probabilidad de que realmente tenga la enfermedad?

P(+) = 0.99·0.01 + 0.05·0.99 = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594.

P(H | +) = (0.99·0.01) / 0.0594 ≈ 0.1667 — solo el 17%. Incluso con una prueba con un 99% de precisión, un positivo en una condición rara es más probable que sea una falsa alarma que la enfermedad.

Es por esto que el tamizaje poblacional es difícil: cuando las tasas base son bajas, los falsos positivos dominan a los positivos.

Bayes es un multiplicador de las probabilidades (odds) a priori. Probabilidades a priori = P(H) / P(¬H); probabilidades a posteriori = probabilidades a priori × razón de verosimilitud (LR+ = sensibilidad / tasa de falsos positivos).

Si LR+ = 20, un positivo multiplica sus probabilidades a priori por 20. Un 1% a priori (probabilidades 1:99) se convierte en probabilidades a posteriori de 20:99 → P ≈ 0.168.

Esto explica por qué repetir una prueba positiva independiente ayuda: cada positivo multiplica las probabilidades nuevamente. Dos positivos independientes con LR+ = 20 dan probabilidades a posteriori de 1:99 · 20² = 400:99 → P ≈ 0.80.

Filtros de spam — P(spam | características). A priori = tasa base de spam en su bandeja de entrada; verosimilitud = qué tan a menudo aparecen esas palabras en el spam vs. correos legítimos (ham).

Significancia A/B — P(aumento real | diferencia observada). Los valores p frecuentistas asumen implícitamente un a priori de 50/50, lo cual rara vez es razonable para funciones que ya han sido implementadas.

Forense, detección de fallas, búsqueda y rescate — en cualquier lugar donde el conocimiento previo y una señal imperfecta deban combinarse en una probabilidad a posteriori.

Negligencia de la tasa base — enfocarse en la precisión de la prueba e ignorar la prevalencia. El ejemplo anterior es el caso clásico.

Invertir condicionales — P(E | H) no es P(H | E). Un síntoma puede tener un 95% de probabilidad dada la enfermedad, pero la enfermedad aún puede ser rara dado el síntoma.

Asumir la independencia de las pruebas cuando estas comparten errores sistemáticos. Dos pruebas correlacionadas no multiplican las probabilidades de forma tan limpia como sugiere la fórmula.