Calculadora de Permutaciones y Combinaciones

Permutaciones sin repetición — P(n, k) = n! / (n−k)!. Elige k de n elementos donde el orden importa y ningún elemento se repite. Ejemplo: de cuántas formas se pueden sentar 3 de 10 personas en un podio de 1.er/2.º/3.er lugar.

Combinaciones sin repetición — C(n, k) = n! / (k!(n−k)!). El orden no importa, no hay repeticiones. Ejemplo: manos de póker de 5 cartas de una baraja de 52 cartas.

Permutaciones con repetición — nᵏ. k espacios, cada uno llenado independientemente a partir de n opciones. Ejemplo: un PIN de 4 dígitos a partir de 10 dígitos = 10⁴ = 10000.

Combinaciones con repetición (multiconjuntos) — C(n+k−1, k). k elementos elegidos de n tipos, se permiten repeticiones, el orden no importa. Ejemplo: servir 3 bolas de helado de entre 5 sabores.

Una lotería de "elegir 6 de 49": ¿cuántos boletos posibles hay? El orden no importa y ningún número se repite — combinaciones sin repetición.

C(49, 6) = 49! / (6! · 43!) = 13 983 816. Un boleto tiene una probabilidad de 1 entre 13.98 millones.

Por el contrario, un número de 6 dígitos con repeticiones permitidas = 10⁶ = 1 000 000 — probabilidades mucho mejores, pero premios acumulados mucho más pequeños porque el conteo es mucho menor.

Contraseña de 8 caracteres a partir de 62 caracteres alfanuméricos con repeticiones: 62⁸ ≈ 2.18 × 10¹⁴. Por qué un atacante por fuerza bruta necesita un hash offline para descifrar contraseñas razonables.

Manos de póker: total = C(52, 5) = 2 598 960. Escaleras reales = 4. P(real) = 4 / 2598960 ≈ 1 entre 650 000.

La misma maquinaria — "elegir k de n" — aplicada a escalas muy diferentes.

C(n, k) = C(n, n−k). Elegir al grupo que "entra" es el mismo problema que elegir al grupo que "sale".

P(n, k) = k! · C(n, k). Las permutaciones equivalen a las combinaciones multiplicadas por las ordenaciones de los k elementos elegidos.

n! crece ferozmente: 10! ≈ 3.6 millones, 20! ≈ 2.4 × 10¹⁸, 70! excede la precisión doble IEEE 754. Esta calculadora tiene un límite de 170! (≈ 1.7 × 10³⁰⁶) — cualquier valor superior devuelve "Infinity".

Tratar problemas ordenados como no ordenados. "¿Cuántos podios son posibles?" es P, no C.

Olvidar la repetición. "¿Cuántos números de teléfono de 7 dígitos existen?" usa repetición (10⁷); clasificar a 7 candidatos distintos no la usa (7!).

Coeficientes multinomiales — organizar n elementos donde algunos se repiten (como las letras en MISSISSIPPI) requiere n! / (n₁! · n₂! · …). No están cubiertos por las cuatro reglas anteriores.

En las ciencias de la computación, la combinatoria impulsa el análisis de algoritmos. Ordenar n elementos tiene n! ordenamientos iniciales posibles, razón por la cual los ordenamientos por comparación no pueden superar O(n log n) en el peor de los casos. La entropía de las contraseñas es log₂(nᵏ) — el número de bits de seguridad en una contraseña de k caracteres extraída de n símbolos.

En genética, las combinaciones cuentan los genotipos posibles. Con dos alelos en un solo locus, existen C(2+2−1, 2) = 3 genotipos (AA, Aa, aa). A través de más de 20,000 genes, el espacio combinatorio de la variación humana es astronómico — razón por la cual los estudios de gemelos se centran en comparar pares idénticos frente a fraternos para aislar los efectos genéticos de los ambientales.