Calculadora de Regresión Lineal

Elija a y b para minimizar Σ(yᵢ − a − bxᵢ)². Soluciones de forma cerrada: b = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / Σ(xᵢ − x̄)², a = ȳ − b·x̄.

Interpretación: un aumento de 1 unidad en x se asocia con un cambio de b unidades en el promedio de y. La intersección a es el valor de y predicho cuando x = 0; esto tiene sentido solo si x = 0 está dentro o cerca de sus datos.

R² = 1 − SS_res / SS_tot es la proporción de la varianza de y explicada por x. Equivale a r² en la regresión simple.

Error estándar residual s = √(SS_res / (n − 2)). Es la distancia vertical típica desde la línea; se predice y con una precisión de aproximadamente ±2s para nuevas observaciones.

EE de la pendiente: s / √Σ(xᵢ − x̄)². Determina con qué precisión conocemos b.

t = b / SE(b), df = n − 2. Evalúa H₀: pendiente real = 0 (es decir, x no tiene un efecto lineal sobre y).

IC del 95% de la pendiente: b ± t* · SE(b). Si este intervalo excluye el 0, la pendiente es significativa con un α = 0.05.

Linealidad: la relación real entre la media de y y x es una línea recta.

Independencia: los residuos no forman patrones a lo largo del tiempo o por agrupaciones.

Normalidad: los residuos son aproximadamente normales (importante para valores p en muestras pequeñas; el TCL ayuda en muestras grandes).

Igualdad de varianza (homocedasticidad): la dispersión de los residuos es aproximadamente constante a lo largo de x.

Diagnóstico: los gráficos de residuos vs. valores ajustados y los gráficos QQ revelan violaciones mucho mejor que el R² por sí solo.

Mismos datos que la calculadora de correlación: x = 1..10, y = (2,4,5,4,5,7,8,8,10,12).

b = 73.5 / 82.5 ≈ 0.891. a = 6.5 − 0.891·5.5 ≈ 1.6.

Residuos: yᵢ − (1.6 + 0.891·xᵢ). SS_res ≈ 9.45. s ≈ √(9.45/8) ≈ 1.087.

EE(pendiente) ≈ 1.087/√82.5 ≈ 0.120. t = 0.891/0.120 ≈ 7.44, df = 8, p < 0.001. La pendiente es altamente significativa.

Predicción en x = 11: ŷ = 1.6 + 0.891·11 ≈ 11.4 (con un intervalo de predicción más amplio que el intervalo de confianza porque se suma la variabilidad individual).

Extrapolación: predecir en valores de x muy alejados del rango observado, donde la forma lineal supuesta podría romperse.

Puntos influyentes: un solo valor atípico con alto apalancamiento puede alterar drásticamente la pendiente. Inspeccione el apalancamiento y la distancia de Cook, no solo el R².

Sesgo por variable omitida: una relación fuerte entre x e y podría estar impulsada realmente por una tercera variable z. La regresión simple no puede detectar esto.

Reportar el R² sin revisar los patrones de los residuos. Una relación curva puede dar un R² = 0.95 y, aun así, la línea ser el modelo incorrecto.

Confundir el intervalo de predicción (para un nuevo valor de y) con el intervalo de confianza (para la media de y en esa x). Los intervalos de predicción son siempre más amplios.